Inception中的数学原理和逻辑
见有自称是数学系专业本科生说Inception让人想到了数学中的求导运算，梦和醒其实就是求导和逆运算。
我觉得有些牵强。
的确Inception中其实大量运用了数学知识，
但许多的确超出一般人的数学知识范围，甚至是所谓的数学专业的。
这也恐怕正是很多人看不懂它的原因吧。
Inception中许多假设和现像其实都来源于现代数学中几何研究。
主要的就是流形(manifold).
一些观众看过之后，
觉得Inception很玄，
而且许多地方不合逻辑。
但在我看来，很少有比Inception结构更严谨的剧本了。
Inception的结构就像一部论文一样，而且还是证明式的。
它其本上分作三段。
第一段是从开始到Leo遇到萝莉为止。
这一段是描述问题。
第二段是Leo教小萝莉。
这段是提出基本原理和依据。
第三段是潜入梦中一段，
这段其实是论证部分，并推导出结论。
整个故事高潮是第三部分，
但故事逻辑的核心的第二部分。
这一部分许多观众说感觉沉闷，像是在上课。
的确如此，
因为故事的核心其实是靠对话对出来的，而且更像是示教式的。
为什么是这样呢？
因为如果用上课这种最容易明白的方式讲给你听你还不懂的话，
你就没有没法懂这片子了。
让我们来看看这段中的几个问题。
第一个问题：
为什么要潜入梦中去呢。
Leo讲
潜入梦中可以改变一个人的想法。
一个人就是一个想法。
想法变了，它就不是它了。
（这种放之四海皆准的道理居然有人不知道）
第二个问题：
怎样骗过人呢？
Leo讲：
人在醒的时候，
其实有一段时间是根本分不清梦中的是真的，
还是眼前的是真的。
它实际是通过一些标准来判断是己是不是在现实中。
这其实就是整个电影的最关键。
也是整个论文的题目和基本假设。
那么Leo是怎么做到的呢，
这是Leo说他是靠陀螺。
如果它转不停，就是在梦境中，
如果它能停下来，就不是在梦境中。
许多观众看到这很容易懂。
实际上我要问，这说明什么，梦境有什么特点。
接着Leo教小萝莉造梦的时候，
把世界整个上下对折，形成了一个盒子壮的结构。
观众们被眼前的景象惊呆了。
这又说明什么？
如果世界变成这样了，梦中人一眼就能看出来不对，
Leo为什么展示这种世界呢？
还有另一小帅哥教小萝莉的时候，
让它走了一段楼梯，走了四段，一直向感觉向上，实际上走了一个死圈。
导演想说明什么呢？
说到这份上了还不明白嘛？
那还有呢。
最开始的时候，Leo试小萝莉的智商，让小萝莉画迷宫。
小萝莉先画了两个迷宫，Leo一下就走出来了，但第三个Leo没出来。
有什么特点呢？
在头二个迷宫都是有棱有角的，第三个迷官是在画圈。
这是在说什么呢？
到这为止，Leo充分展示了机智，概括起来就把人困在梦里的方法就是让人跑圈。
按照数学上的语言来说，Leo认为真实的世界应是欧式空间，而梦中的世界是非欧式空间。
诺兰是建筑迷，免不了的也是几何迷，它其实是给观从上了一堂示例教学的几何课。
我们的空间是三维的，如果你把时间算进去就是四维的，如果时间这个维度上画圈，那个陀螺就转不停了。
而其它的那个例子其实都是低维度的非欧空间的示例。
在一维度上，欧式空间就是直线，非欧空间可以是圆圈。
在二维度上，欧式空间是平面，非欧式空间可以有多种，
一种就是那个楼梯，如果没记错的话是乌比斯环面，这个很怪的，因为这个二面相通，分不出正反面来。
另一种就球面，就是世界上下对折。
实际上还有许多种，如圆环表面，环面，圆柱，还有克莱因瓶。
至于三维的，情况更多，但是只有在四维空间中才可见，如果你能想明白，你可以搞相对论。
多好的一堂几何课啊。
接下来一个问题，为什么要玩非欧空间。
这个道理很简单，造梦师能想到的东西是有限的，如果你想把人困住，就要给它一种无限的错觉。
如果你把被骗的人想成是一只小虫子的话，只能在二维的世界中到处跑。
如果是欧式空间的话是个平面，设计的梦是有限，你只能设计一个很大的圆。
那这只小虫总有一天会跑这个圆的。
但是如果这是一个球面的话，就不一样了，不管小虫如何跑，都跑不出这个球表面。
引申一个问题测一下你的理解，小帅用的是色子，小帅怎么来验是不是在梦中呢？
答，如果在梦中，小帅的色子数会以周期性重复。
这些几何结构其实叫流形，流形跟欧式空间的区别就是局部相似，全局上不同。
以一维为例，一维的欧式是直线，非欧的是圆。
如果你取出直线的一部分，再取出圆上的一部分，你得到线段和圆弧。
如果线段比较短，或是圆的半径比较大的话，这两者的差别就非常小，你就分不出业。
所以，如果你只看那陀螺一眼，或是只走一段楼梯，或是只生活在对折世界中的一部分的话，你是发现不了不同的。
但是在全局上，有则本质的区别。
直线向二端无限申展，而圆只能重复自己。
片中前者是真实世界，后者就是梦中了。
实际上这件事玩数学的己经知道了有二三百年了，
最开始想这个问题的人其实是高斯（牛到无法形容的人，你要是不知道你上过学吗？）
高斯最初作过一段时间的测绘工作（因此搞出了高斯分布和小二乘法，你不知道你上过大学吗？），
于是发现在地面看的直线在塔楼上看不是直的（这种事我也见过，但没敢想那么多？）
于是问究竟什么是弯，什么是直(牛人都有犯神经的病，比我严重得多）
想了一下，发现这个问题会影响到许多问题，几何学要重写（是啊，如果没有直线，还有几何吗，高斯的确是非欧的开山之人）
高斯想到这个问题，便没有给答案，但他给出了几何概念的解析定义（就是不用尺量，用向量公式算），于是创立了微分几何（哎，天天用的东西，不会不行）。
因此我们才知道非欧空间中的一个重要特性，三角形的内角合不是180度。（这是真的，在球面上，直线是最短的测地线，角度是测地线微分向量的点积）。
并且方法也可以弄到高维去（只要有作标系，有向量就行）。
这还不算完，不久高斯的学生黎曼问了一更牛的问题（天才教出的天才，也只有天才能教，可惜死的早，没看上inception上映啊).
高斯只是把图形弄弯了，作标系还是直的。
黎曼问，作标系能不能是弯的呢？（你有病啊，如果一般老师一定这么说）。
如果作标系是弯的，那长度角度还有什么意义吗？（当时许多人认为黎曼问的不是数学，是哲学）。
在梦中，你怎么知道真实，这是一个Inception中哲学问题。
在一个曲线作标中，你怎么画直线，这就是把哲学问题转化成了等价的数学问题。
于是黎曼在曲线作标上，又搞出了一套东西，就是今天的黎曼流形和黎曼量度。
在100多年中，没人理解黎曼的贡献。
而后影响了电影制作（Inception)，再就是物理上的相对论（你不知道你还是地球人吗？）
现在你知道Leo的角有多聪明了吧（不当聪明，更主要的是有知识，你以为建筑系的天才就是考试分高吗？）
你也明白诺兰不只是有想象力，而且非常严谨。（主要是观众普遍知识水平偏低，以为诺兰是玩穿越搞爱情）。
但是诺兰的世界中还不仅仅如此。
当Leo找老教授要天才帮手时，
老教授说给你找个比你还天才的小萝莉。
实际上全片中教一个最大的疑问，在后面我将详细分析，就是天才小萝莉究意作了什么。
第三段中其本没什么表现。
而在第二段中如果你看明白的话，你会发现小萝莉比Leo强出一个数量级。
第一小萝莉学的非常之快。
第二小萝莉潜入到的Leo的内心中。
第三小萝莉第一次玩梦境就把Leo玩崩了。
第四点，是小萝莉验证梦的方法：把一个象棋推倒。
注意了：他的方法跟其它人是完全不同的。
所以说小萝莉的梦中世界的几何结构跟其它人完全不相同。
你猜！
你猜！
你接着猜！
我知道，但说真的，我也没想到。
诺兰啊，亏你想得出来。
是分形 fractal!
让我们来回想下，
第二段中，
一开始都是别人教小萝莉，
当小夢莉向世人展示他将如何弄倒Leo老帅男的时候，
小萝莉是这样做的：
他把Leo带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，于是在二镜子中出现无穷无尽的人影。
诺兰多巧妙啊，这是多美的比喻啊。
如果人是真实，镜中像就是梦中像，梦是可以无穷无尽的。
更绝的是如果你在镜中一点，如果你将它放大，你将得到一个完整的人。
这种嵌套是无限度的。
而在每一点上放大，你将得到另一个无穷无尽的世界。
这就像在梦中的一点，你将时间一延长，你将得到另一个梦世界。
并且这种缩放的比例是一定的，在梦中，缩放的是一个时间量。
而在镜中，缩放的是人像的大小。
在梦中，取决于人脑的固有性质，
而在现实中，取决于两镜面之间的距离。
不当在场面上好看，
在逻辑上更是绝了。
真是绝了，
绝了啊。
还怎么说啊。
当然，导演只是比喻得好，真正产生这个想法的还是玩数学的。
说分形fractal就不能不说chaos。
第一个想到这个人是庞加莱（太牛以至于不那么出名）。
庞加莱的作用在诺兰的逻辑中不仅如此。
一个问题是为什么造梦要找玩建筑的，难道造梦就是盖楼嘛.
实际上不那么简单。
庞加莱提出了相和相空间的概念。
因此你可以把世界上的一切都有相空间中的几何结构表示。
所以自庞之后的物理中，基本都是几何的方法，如超弦，相对论，没有再用分析的方法了。
原因是当然庞加莱玩三体问题的时候玩出了一个结论，分析方法不可能准，会产生巨大的错识，要想弄清楚，就只能用几何。
这几乎就是数学中稳定概念的源头，也宣告了分析力学的死期。
而在几何方法中，庞也没用微分几何，他更多是用拓朴的观点，称为定性分析。
这也就是为什么庞在动力学中名声巨大而留下的问题都是几何拓扑相关的。（庞加莱猜想）
庞其实早就知道chaos那种流形结构的存在。
诺兰也许不玩数学，但诺兰一定有一个几何化的世界宇宙观，在《时间简史》能成为畅销书的英国，这不奇怪。
如果宇宙是几何的，人当然也是几何，人的思想也逃不出几何结构。
所以对于哲学上的问题，你可以用一种几何化的方法类比说明。
诺兰片中最想问的问题实际上是对于真实意义的质疑。
实际上这也不是诺兰最早问的，在哲学上都问了几百年了，而且近代应有新观点。
诺兰最大的贡献是告诉我们这个问题的意义:
“人就是一个想法，如果想法一被人替换，就跟把这个人杀死了一样。”
实际上片中的Leo是最理解这一点的人。
他不仅知道这种想法的威力，也知道这种想法的杀伤力。
就是靠这一点，他杀死的自己的妻子，虽然他是无意的。
他只是想知道他是否能把想法植入别人的脑子中，而让他们以为是自己想法而混然不觉。
而他想植入的想法就是“让一个人把现实当成梦，而把梦当成现实”，当然他成功了。
然后他就悲剧了，妻子就跳楼。
实际上leo纠结的不只是对妻子的感情，还有对想法本身的恐惧。
因为这个想法的力量大加大了，
他自己都跑不出来。
实际上别人也可以用梦杀死它，他也无能为力。
而且他自己也不能断定自己的想法就是真实的，没有被人植入，自己没死。
这就是在曲线的作标系中如何画直线的问题。
实际上是没有答案的。
在片中的第三部分中，疑点太多了。
关键的问题在于你不知道是梦中真实的情况，还是别人设的假想来骗人。
首选，在潜入之前，说敌人的梦会有五层，甚到更多，而实际上敌人只在第三层就攻破了，
所以你不知道是真的在第三层把敌人攻破了还是在第三层被人圈入去了呢。
因为第三层的梦不是Leo造的，而是敌人的梦。
你是不知道。
第二，如按Leo的设计，第三层时任务就失败了，实际上萝莉想出来的办法挽救。
是真的被救还是萝莉下的套呢？
第三，你会发现在第四层的时候，Leo没有把敌人的想法替换掉，实际上是把自己的想法全部说出来。
在此之后，Leo就处在危险中了。
第四，如果按我的理解，越是高手，
应能在梦中潜的层次越深，Leo实际上四层就透明了，而我们没有看见第一高手小萝莉造梦。
小萝莉在片中就造了一次，就把leo弄崩了，Leo 说不要用真实的东西造梦。
为什么呢？因为Leo只是四层梦的高手，小萝莉是五层梦的高手。
五层梦的高手造的梦四层梦的高手只能怀疑，但分不出真假来。
因此四层这后Leo对真实就没有了信心，实际上以后发生的事，从Leo角度看，我们就不知真假了。
第五：
片中所有的人我们都知道他们想什么，但萝莉想什么我们不知道。
而且也没见萝莉验梦。
所以最后实际上是没结局的。
有人猜出了几种结局，
说完全可以从一开始就是一个梦。
我还可以再想出几十种来。
完全可能是老头弄个小萝莉困住Leo，让他不再做坏事（我多正义啊）。
这是完全有可能的，想想小萝莉没见过Leo妻子，但为什么第一次造梦就造出大美女来了呢？（老头告诉他了呗）。
第二有你说Leo看见小孩的脸就说明不是梦中，是真实的。（我说不对，别人是造不出来的，但如果是老头告诉了小萝莉那就完全有可能。老头是见过小孩的啊）。
还有天才的小萝莉爱上了聪明老帅男，（我最爱的结局）
把它困在了自己的梦中YY（虽说有点过份，但是有可能的啊）
不然为什么小萝为什么总关心Leo心理想什么呢？
为什么Leo妻子质问小萝莉当Lover呢。
我要是小萝莉完全可以做到啊，先把Leo用梦困住，然后回去找老头看小孩的照片，再把梦给补上。（爱情的力量和机智是无穷的).
实际上，只要你敢想，最后的结局可以是片中任何一个人的梦，
如果你要再敢想，结局还可以是任何一个人梦中之梦，可能所有的人都不是真的，都是想出来的。
所以诺兰不想给你结局，结局就是这样形成一个分形结构。
他告诉你在这样的结构中，你是永远无法知道真像的。
诺兰成功的用构造法证明了一个可悲的结论：
“虽然想法对一个人重要，换掉一个人的想法就跟杀了一个人似的，但一个人的想法究意是他自己的，还是被别人植入的，他可能永远不知道”
到此，你看，诺兰的片子不就是一严谨的论文吗。
下面写篇摘要吧：
诺兰同学提出了一个“一个人的想法究竟是个人所想还是别人植入的问题”，
通过分形几何的启发，诺兰用一个简单的假设，通过构造出了分形的结构。
在这一假设中，诺兰同学从一个出发点推导出了无穷无尽的结论，从而论明了“这个问题实际上是不可能解决的”。
诺兰同学的假设合理，论证严谨，说明深入浅出，令人信服。
是三十年来电影专业少见的好论文。
希望大家传阅并认真学习。
引申讨论：
1 对于一个没有知识，没有思想，又不明白独立思考重要性的民族，如中国，是否能拍出这样的电影呢？
2 对于一个没有知识，没有思想，没有思考能力，想法从小被扼杀的观众，如中国观众，除了打五星他们能否真正理解这部电影呢？
不说了，说了都是眼泪。
以后电影票钱可以省很多了。
标签： 生活中的数学故事
